Сечение поверхности шара

Любое сечение поверхности шара плоскостью является окружностью, которая проецируется без искажения только в том случае, если секущая плоскость параллельна плоскости проекций. В общем же случае мы будем получать эллипс. В том случае, если секущая плоскость перпендикулярна плоскости проекций, на этой плоскости проекцией окружности является отрезок прямой, который равен диаметру этой окружности.

На рисунке 109 показано пересечение поверхности шара горизонтально-проектирующей плоскостью Р . На горизонтальную плоскость сечение будет проецироваться в виде отрезка проекции р плоскости Р , который заключён между контуром шара и равен диаметру окружности сечения. На фронтальной плоскости мы получим эллипс. О 1 является центром окружности, который получен в сечении шара. Он расположен на одной высоте с центром шара О . Горизонтальная проекция о 1 центра О 1 окружности располагается посредине отрезка ab . Перпендикуляр, который опущен из точки о на прямую ab , попадает в точку о 1 , являющуюся горизонтальной проекцией центра окружности сечения. Фронтальная проекция о́ 1 центра окружности является центром интересующего нас эллипса.

Если рассматривать эллипс как проекцию некоторой окружности, то его большая ось всегда будет проекцией того диаметра окружности, который параллелен плоскости проекций, а малая ось эллипса будет представлять собой проекцию диаметра, перпендикулярного ему. Вследствие этого большая ось эллипса проекции всегда равна диаметру проецируемой окружности. Здесь диаметр окружности CD перпендикулярен плоскости Н и проецируется без искажения на фронтальную плоскость. Для нахождения концов большой оси эллипса необходимо отложить вниз и вверх от центра о 1 эллипса (по перпендикуляру к прямой о́о́ 1) отрезки о́ 1 с́ и о́ 1 d́ , которые равны половине диаметра окружности сечения о́ 1 с́ = о́ 1 d́ = 1/2(ab ). При этом диаметр АВ окружности параллелен горизонтальной плоскости, а его фронтальная проекция а́b́ представляет собой малую ось рассматриваемого эллипса.

Точки, отделяющие видимую часть эллипса от невидимой. Начнем с проведения фронтальной плоскости Q , которая делит шар пополам. Плоскость Q будет пересекать поверхность шара по окружности, проецирующейся на фронтальную плоскость в виде контура. Тогда часть линии сечения, расположенную на передней части шара, будет видно, если смотреть на шар спереди, а остальная её часть не будет видна. Плоскость Q пересечет плоскость Р по фронтали Ф 1 . Пересекаясь с контуром, ее фронтальная проекция Ф определит точки 1 , которые отделяют видимую часть кривой от невидимой. Промежуточные точки 2́ эллипса можно найти с помощью вспомогательной фронтальной плоскости R, пересекающей поверхность шара по окружности радиуса r 2 , а плоскость Р – по фронтали Ф 2 .

Шар – это тело, состоящее из всех точек пространства, которые находятся на расстоянии, не большем данного от данной точки. Эта точка называется центром шара, а данное расстояние – радиусом шара. Граница шара называется шаровой поверхностью или сферой. Точками сферы являются все точки шара, которые удалены от центра на расстояние, равное радиусу. Любой отрезок, который соединяет центр шара с точкой шаровой поверхности, тоже называется радиусом. Проходящий через центр шара отрезок, который соединяет две точки шаровой поверхности, называется диаметром. Концы любого диаметра называются диаметрально противоположными точками шара.

Шар является телом вращения, так же как конус и цилиндр. Шар получается при вращении полукруга вокруг его диаметра как оси.

Площадь поверхности шара можно найти по формулам:

где r – радиус шара, d – диаметр шара.

Объём шара находится по формуле:

V = 4 / 3 πr 3 ,

где r – радиус шара.

Теорема. Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость.

Исходя из данной теоремы, если шар с центром O и радиусом R пересечён плоскостью α, то в сечении получается круг радиуса r с центром K. Радиус сечения шара плоскостью можно найти по формуле

Из формулы видно, что плоскости, равноудалённые от центра, пересекают шар по равным кругам. Радиус сечения тем больше, чем ближе секущая плоскости к центру шара, то есть чем меньше расстояние ОК. Наибольший радиус имеет сечение плоскостью, проходящей через центр шара. Радиус этого круга равен радиусу шара.

Плоскость, проходящая через центр шара, называется диаметральной плоскостью. Сечение шара диаметральной плоскостью, называется большим кругом, а сечение сферы – большим кругом, а сечение сферы – большой окружностью.

Теорема. Любая диаметральная плоскость шара является его плоскостью симметрии. Центр шара является его центром симметрии.

Плоскость, которая и проходит через точку А шаровой поверхности и перпендикулярна радиусу, проведённому в точку А, называется касательной плоскостью. Точка А называется точкой касания.

Теорема. Касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку – точку касания.

Прямая, которая проходит через точку А шаровой поверхности перпендикулярно к радиусу, проведённому в эту точку, называется касательной.

Теорема. Через любую точку шаровой поверхности проходит бесконечно много касательных, причём все они лежат в касательной плоскости шара.

Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него плоскостью. Круг ABC – основание шарового сегмента. Отрезок MN перпендикуляра, проведенного из центра N круга ABC до пересечения со сферической поверхностью, – высота шарового сегмента. Точка M – вершина шарового сегмента.

Площадь поверхности шарового сегмента можно вычислить по формуле:

Объём шарового сегмента можно найти по формуле:

V = πh 2 (R – 1/3h),

где R – радиус большого круга, h – высота шарового сегмента.

Шаровой сектор получается из шарового сегмента и конуса, следующим образом. Если шаровой сегмент меньше полушара, то шаровой сегмент дополняется конусом, у которого вершина в центре шара, а основанием является основание сегмента. Если же сегмент больше полушара, то указанный конус из него удаляется.

Шаровой сектор – это часть шара, ограниченная кривой поверхностью сферического сегмента (на нашем рисунке – это AMCB) и конической поверхностью (на рисунке – это OABC), основанием которой служит основание сегмента (ABC), а вершиной – центр шара O.

Объем шарового сектора находится по формуле:

V = 2/3 πR 2 H.

Шаровый слой – это часть шара, заключённая между двумя параллельными плоскостями (на рисунке плоскостями ABC и DEF), пересекающими сферическую поверхность. Кривая поверхность шарового слоя называется шаровым поясом (зоной). Круги ABC и DEF – основания шарового пояса. Расстояние NK между основаниями шарового пояса – его высота.

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Шара до плоскости равно радиусу плоскости, то плоскость касается шара только в одной точке, и площадь сечения будет равна нулю, то есть если b = R, то S = 0. Если b = 0, то секущая плоскость проходит через центр шара. В этом случае сечение будет представлять собой круг, радиус которого совпадает с радиусом шара. Площадь этого круга будет, согласно формуле, равна S = πR^2.

Эти два крайних случая дают границы, между которыми всегда будет лежать искомая площадь: 0 < S < πR^2. При этом любое сечение шара плоскостью всегда является кругом. Следовательно, задача сводится к тому, чтобы найти радиус окружности сечения. Тогда площадь этого сечения вычисляется по формуле площади круга.

Поскольку расстояние от точки до плоскости определяется как длина отрезка, перпендикулярного плоскости и начинающегося в точке, второй конец этого отрезка будет совпадать с окружности сечения. Такой вывод вытекает из определения шара: очевидно, что все точки окружности сечения принадлежат сфере, а следовательно, лежат на равном расстоянии от центра шара. Это значит, что окружности сечения может считаться вершиной прямоугольного треугольника, гипотенузой которого служит радиус шара, одним из - перпендикулярный отрезок, соединяющий центр шара с плоскостью, а вторым катетом - радиус окружности сечения.

Из трех сторон этого треугольника заданы два - радиус шара R и расстояние b, то есть гипотенуза . По теореме Пифагора длина второго катета должна быть равна √(R^2 - b^2). Это и есть радиус окружности сечения. Подставляя найденное значение в формулу площади круга, легко к выводу, что площадь сечения шара плоскостью равна:S = π(R^2 - b^2).В частных случаях, когда b = R или b = 0, выведенная полностью согласуется с уже найденными результатами.

Видео по теме

Источники:

• сечение шара плоскостью

Все планеты солнечной системы имеют форму шара . Кроме того, шарообразную или близкую к таковой форму имеют и многие объекты, созданные человеком, включая детали технических устройств. Шар, как и любое тело вращения, имеет ось, которая совпадает с диаметром. Однако это не единственное важное свойство шара . Ниже рассмотрены основные свойства этой геометрической фигуры и способ нахождения ее площади.

Инструкция

Если взять или круг и провернуть его вокруг своей оси, получится тело, называемое шаром. Иными словами, шаром называется тело, ограниченное сферой. Сфера представляет собой оболочку шара , и ее окружность. От шара она отличается тем, что является полой. Ось как у шара , так и у сферы совпадает с диаметром и проходит через центр. Радиусом шара называется отрезок, проложенный от его центра до любой внешней точки. В противоположность сфере, сечения шара представляют собой круги. Форму, близкую к шарообразной, имеет большинство и небесных тел. В разных точках шара имеются одинаковые по форме, но неодинаковые по величине, так называемые сечения - круги разной площади.

Шар и сфера - взаимозаменяемые тела, в отличие от конуса, несмотря на то, что также является телом вращения. Сферические поверхности всегда в своем сечении образуют окружность, независимо от того, как именно она - по горизонтали или по вертикали. Коническая же поверхность получается лишь при вращении треугольника вдоль его оси, перпендикулярной основанию. Поэтому конус, в отличие от шара , и не считается взаимозаменяемым телом вращения.

Самый большой из возможных кругов получается при сечении шара , проходящей через центр О. Все круги, которые через центр О, пересекаются между собой в одном диаметре. Радиус всегда равен половине диаметра. Через две точки A и B, располагающиеся в любом месте поверхности шара , может проходить бесконечное количество кругов или окружностей. Именно по этой причине через

Введение

Шаром называется тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не большем данного, от данной точки. Эта точка называется центром шара, а данное расстояние радиусом шара.

Граница шара называется шаровой поверхностью, или сферой. Таким образом, точками сферы являются все точки шара, которые удалены от центра на расстояние, равное радиусу. Любой отрезок, соединяющий центр шара с точкой шаровой поверхности, также называемой радиусом.

Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности проходящей через центр шара, называется диаметром. Концы любого диаметра называются диаметрально противоположными точками шара.

Шар, также как цилиндр и конус, является телом вращения. Он получается при вращении полукруга вокруг его диаметра как оси.

Сечение шара плоскостью

Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость.

Доказательство: Пусть - секущая плоскость и О - центр шара (рис. 1) Опустим перпендикуляр из центра шара на плоскость и обозначим через О" основание этого перпендикуляра.

Пусть X - произвольная точка шара, принадлежащая плоскости. По теореме Пифагора ОХ2=ОО"2+О"Х2. Так как ОХ не больше радиуса R шара, то О"Х?, т.е. любая точка сечения шара плоскостью находится от точки О" на расстоянии, не большем, следовательно, она принадлежит кругу с центром О" и радиусом. Обратно: любая точка Х этого круга принадлежит шару. А это значит, что сечение шара плоскостью есть круг с центром в точке О". Теорема доказана.

Площадь, проходящая через центр шара, называется диаметрально плоскостью. Сечение шара диаметральной плоскостью называется большим кругом, а сечение сферы - большой окружностью.

Наименование параметра	Значение
Тема статьи:	Сечение сферы
Рубрика (тематическая категория)	Образование

Плоскостью частного положения

Сфера пересечена фронтально- прое-цирующей плоскостью (рис.9.19.)

Рис.9.19.

Окружность, по которой плоскость a пересекает сферу, на плоскость Н проецируется в эллипс. На фронтальную плоскость проекций эта окружность проецируется в отрезок 1¢¢2¢¢, лежащей на следе a v . Строим точки 1¢ и 2¢, это горизонтальные проекции самой высокой и самой низкой точками сечения. Большая ось эллипса на горизонтальной плоскости проекций определяется точками 5 и 6, которые получаются при пересечении плоскости Т, проходящей через центр сферы, перпендикулярной плоскости a.

Для построения горизонтальных проекций точек воспользуемся параллелями сферы, проходящими через выбранные точки. Обязательно нужно выбрать точки 3 и 4, лежащие на экваторе, так как являются точками перехода с видимой на невидимую сторону поверхности (рис.9.19.).

РАЗВЕРТКИ

При изучении построения разверток поверхности рассматривают как гибкую нерастяжимую пленку. Некоторые поверхности при изгибании можно совместить с плоскостью без разрывов и склеивания. Такие поверхности называют развертывающимися, а полученную плоскую фигуру - разверткой. Поверхности, которые нельзя совместить с плоскостью, относятся к неразвертываемым.

Построение разверток имеет большое практическое применение, так как позволяет изготавливать разнообразные изделия из листового материала путем его изгибания.

Основные свойства разверток поверхностей

Каждой точке (фигуре) на поверхности соответствует точка (фигура) на развертке и наоборот.

На основании этого можно сформулировать следующие свойства:

1. Длины двух соответствующих линий поверхности и ее развертки равны между собой. Следствие: замкнутая линия на поверхности и соответствующая ей линия на развертке ограничивают одинаковую площадь.

2. Угол между линиями на поверхности равен углу между соответствующими им линиями на развертке.

3. Прямой на поверхности соответствуют прямая на развертке.

4. Параллельным прямым на поверхности соответствуют также параллельные на развертке

Развертка поверхности многогранников

Под разверткой многогранной поверхности подразумевают плоскую фигуру, составленную из граней этой поверхности, совмещенных с одной плоскостью.

Существуют три способа построения развертки многогранных поверхностей:

1) Способ треугольников (триангуляции);

2) Способ нормального сечения;

3) Способ раскатки.

Сечение сферы - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Сечение сферы" 2017, 2018.