Определение ширины запрещенной зоны полупроводников из измерений температурной зависимости удельной электропроводности. Отчет. Определение ширины запрещенной зоны ПП

Цель работы. экспериментально исследовать зависимость сопротивления полупроводника от температуры, определить ширину запрещенной зоны (энергию активации) и температурный коэффициент сопротивления полупроводника.

Приборы и принадлежности

1. Терморезистор.

2. Электронагреватель.

3. Термометр.

4. Мост сопротивлений.

5. Источник то­ка.

7. Соединительные провода.

Краткая теория

Электрон изолированного атома имеет некоторые определенные значения энергии, которые изображают в виде энергетических уровней. На рис. 1 представлены энергетические уровни изолированного атома.

Для образования кристалла будем «мысленно» сближать N изолированных атомов. Взаимодействие электрона со всеми N атомами кристалла приводит к изменению энергии электрона. Каждый энергетический уровень атома расщепляется на N уровней, и образуются энергетические зоны (см. рис. 2).

В кристалле все энергетические уровни можно разделить на три энергетические зоны. Энергетические уровни валентных электронов атомов образуют валентную зону (см. рис. 3). Свободные электроны могут иметь в кристалле не любые, а дискретные (некоторые определённые) значения энергии. Энергетические уровни свободных электронов образуют свободную зону или зону проводимости.

Свободная зона отделена от валентной зоны запрещенной зоной - полосой энергии, запрещенной для электронов. Величина называется шириной запрещенной зоны .

При температуре электроны кристалла заполняют нижние энергетические уровни. По принципу Паули на каждом энергетическом уровне может находиться не более двух электронов с противоположно направленными спинами.

У полупроводников при температуре 0 К полностью заполнена электронами валентная зона. В свободной зоне электронов нет. Ширина запрещенной зоны полупроводников небольшая: порядка 1 эВ. С ростом температуры электроны, получая энергию, могут переходить на вышележащие энергетические уровни. Энергии теплового движения электронов и энергии электрического поля тока достаточно для перехода электронов из валентной зоны полупроводника в зону проводимости.

При подключении полупроводника к источнику тока в цепи появляется электрическое поле. Свободные электроны в зоне проводимости под действием этого поля движутся противоположно полю (вектору напряженности электрического поля) и образуют электронную проводимость полупроводника. В валентной зоне на месте ушедшего электрона остается некомпенсированный положительный электрический заряд – дырка. Под действием электрического поля электрон с соседнего уровня может перейти на место дырки, а там, откуда электрон ушел, образуется новая дырка. Можно сказать, что дырки движутся по полю. Дырки в валентной зоне образуютдырочную проводимость полупроводника. Электронная и дырочная проводимости химически чистого полупроводника составляют собственную проводимость полупроводника.

Электрическая проводимость в кристалле пропорциональна концентрации носителей тока (электронов и дырок). Распределение электронов по энергетическим уровням характеризуется функцией Ферми-Дирака

, (1)

где Е – энергия электрона, Е F – энергия Ферми;

k = 1,38∙10 -23 Дж/К – постоянная Больцмана;

Т – абсолютная температура кристалла;

– функция Ферми-Дирака , которая определяет вероятность нахождения электрона на энергетическом уровне с энергией Е .

В металле энергией Ферми называют максимальную кинетическую энергию, которую могут иметь электроны проводимости при температуре 0 К. Энергетический уровень, соответствующий энергии Ферми, называется уровнем Ферми. Таким образом, уровень Ферми – это верхний заполненный электронами энергетический уровень в металле при температуре 0 К.

Значение уровня Ферми в химически чистом полупроводнике, отсчитанное от потолка валентной зоны, приблизительно равно половине ширины запрещенной зоны

Отсюда следует, что уровень Ферми находится посередине запрещенной зоны. Если энергия электрона, находящегося в зоне проводимости, равна Е , тогда по рис. 3 видно, что

.(3)

При невысоких температурах в формуле (1) единицей в знаменателе можно пренебречь. Учитывая выражение (3), из формулы (1) получают

Удельная проводимость полупроводника пропорциональна концентрации носителей тока, поэтому она пропорциональна функции Ферми-Дирака (формула (4)), тогда можно записать

где – постоянная величина, зависящая от данного полупроводника.

Сопротивление обратно пропорционально проводимости, поэтому его можно представить в виде

здесь А – коэффициент, зависящий от физических свойств полупроводника.

Из формулы (5) видно, что с ростом температуры сопротивление полупроводника R уменьшается. По зонной теории эта закономерность объясняется следующим образом: при увеличении температуры растет число электронов в свободной зоне и число дырок в валентной зоне, поэтому проводимость полупроводника увеличивается, а сопротивление уменьшается. У металлов с ростом температуры сопротивление увеличивается.

Для определения ширины запрещенной зоны необходимо прологарифмировать формулу (5)

. (6)

Коэффициент А неизвестен, поэтому сначала записывают формулу (6) для двух разных температур Т 1 и Т 2

, (7)

. (8)

Вычитают из формулы (7) выражение (8)

. (9)

Из формулы (9) для ширины запрещенной зоны получают расчетную формулу

. (10)

График зависимости lnR от 1/Tдля полупроводника с собственной проводимостью представляет собой прямую линию (рис. 4), тангенс угла наклона которой к оси абсцисс равен

. (11)

Сравнивая формулы (10) и (11), можно получить

.

Температурный коэффициент сопротивления показывает относительное изменение сопротивления при нагревании вещества на 1 К

Единица измерения в СИ .

Взяв производную сопротивления по температуре в формуле (5), можно записать:

. (13)

Формулу (13) подставляют в формулу (12) и, учитывая формулу сопротивления R (5), получают

.

Расчетная формула для температурного коэффициента сопротивления полупроводника равна

Температурный коэффициент сопротивления полупроводников зависит от температуры и химической природы вещества. Знак минус в формуле (14) учитывает, что с ростом температуры сопротивление полупроводника уменьшается. У металлов температурный коэффициент сопротивления является положительной величиной.

Описание установки

На рис. 5 представлена схема лабораторной установки. Терморезистор 1, термометр 5 и нагреватель 4 помещены в закрытый сосуд.

Напряжение на нагреватель подается от трансформатора (ЛАТР), подключенного к сети 3.

Терморезистор – это полупроводник, сопротивление которого зависит от температуры. Измерение сопротивления осуществляется мостом 2 типа Р 333.

Для исследований применяют терморезистор ОСММТ– 4 (рис. 6), состоящий из смеси окислов меди и марганца. Терморезистор 1 в виде стержня находится в замкнутом металлическом корпусе 2. Герметизация выводов 3 обеспечивается слоем олова и стеклянным изолятором 4.

Терморезисторы применяют для измерения температуры.

Выполнение работы

1. Сопротивление терморезистора при комнатной температуре измерить при помощи моста 2.

2. Включить нагреватель.

3. Измерять сопротивление терморезистора через каждые С. Провести 4-5 измерений, не допуская повышения температуры более С.

4. Результаты измерений занести в таблицу.

5. Построить график зависимости сопротивления от температуры в координатах lnR и Т .

7. Вычислить температурный коэффициент сопротивления полупроводника по формуле (14).

8. Результаты вычислений занести в таблицу и сделать вывод.

№ п/п	R Ом	t °С	T К	T -1 К -1	lnR	α К -1

Контрольные вопросы

1. Каким образом происходит расщепление энергетических уровней на зоны в кристаллическом твердом теле?

2. Как образуется валентная зона?

3. Как образуется зона проводимости (свободная зона)?

4. Как возникает собственная проводимость полупроводников?

5. Какому закону подчиняется распределение электронов по энергетическим уровням?

6. Каков физический смысл функции Ферми-Дирака?

7. Как изменяется сопротивление полупроводника с ростом температуры? (Построить график этой функции). Сравнить с металлами.

8. Что такое температурный коэффициент сопротивления? Какова его зависимость от температуры? Сравнить температурный коэффициент сопротивления полупроводников и металлов.

Лабораторная работа № 6

Изучение свойств p-n -перехода и снятие статических

Характеристик транзистора

Цель работы. изучить работу полупроводникового диода и транзистора. Проследить изменение тока через p-n -переход в зависимости от изменения напряжения в прямом и запорном направлениях. Снять статические характеристики транзистора.

Приборы и принадлежности

2. Транзистор.

3. Миллиамперметр с многопредельной шкалой.

4. Вольтметры.

5. Потенциометры.

6. Двухполюсный переключатель.

7. Соединительные провода.

8. Источники напряжения.

Краткая теория

Свойства и проводимость примесных полупроводников определяются имеющимися в них искусственно вводимыми примесями. Как известно, атомы германия или кремния, являющиеся полупроводниками, в узлах кристаллической решетки связаны четырьмя ковалентными связями с соседними атомами. Если часть атомов полупроводника в узлах кристаллической решетки заменить атомами другого вещества, имеющими иную валентность, то полупроводник приобретет примесную проводимость. Например, если при выращивании кристалла германия в расплав добавить небольшое количество пятивалентного мышьяка (или фосфора), то последний внедрится в решетку кристалла, и четыре из его пяти валентных электронов образуют четыре ковалентные связи с атомами германия. Пятый электрон оказывается “лишним”, легко отщепляется от атома за счет энергии теплового движения и может участвовать в переносе заряда, т.е. создании тока в полупроводнике.

Таким образом, в полупроводнике с примесью, валентность которой на единицу больше валентности основных атомов, лишний электрон является электроном проводимости. Число таких электронов будет равно числу атомов примеси. Такой полупроводник обладает электронной проводимостью или является полупроводником n -типа (от слова negative - отрицательный). Атомы примеси, поставляющие свободные электроны, называются донорами.

Пятый электрон примеси занимает состояние чуть ниже края зоны проводимости, т.е. находится в запрещенной зоне (рис. 1,а ). Этот энергетический уровень называется донорным. Его положение вблизи зоны проводимости обусловливает легкость перехода электрона с донорного уровня в зону проводимости за счет тепловых колебаний решетки.

Обычно в полупроводнике n -типа число электронов проводимости превышает число атомов примеси, так как в зону проводимости дополнительно попадают электроны за счет разрыва ковалентных связей благодаря тепловым колебаниям решетки. Одновременно в полупроводнике образуется небольшое количество дырок. Поэтому в полупроводнике n -типа наряду с основными носителями заряда - электронами проводимости - имеется небольшое количество неосновных носителей заряда - дырок.

Германий или кремний можно легировать трехвалентными атомами, например, галлием, бором или индием. Три валентных электрона атома бора не могут образовать ковалентные связи со всеми четырьмя соседними атомами германия. Поэтому одна из связей оказывается неукомплектованной и представляет собой место, способное захватить электрон. При переходе на это место электрона одной из соседних пар возникает дырка, которая будет кочевать по кристаллу.

Таким образом, в полупроводнике с примесью, валентность которой на единицу меньше валентности основных атомов, носителями заряда являются дырки. Число дырок определяется в основном числом атомов примеси. Проводимость такого полупроводника называется дырочной, а полупроводники называются полупроводниками р -типа (от слова positive - положительный). Примеси, вызывающие появление дырок, называются акцепторными, а энергетические уровни, на которые переходят электроны для восполнения недостающей связи атома примеси, называются акцепторными уровнями. Акцепторные уровни располагаются в запрещенной зоне вблизи валентной зоны (см. рис. 1,б ). Образованию дырки отвечает переход электронов из валентной зоны на один из акцепторных уровней.

Количество дырок в полупроводнике р -типа обычно превосходит число атомов доноров. Некоторое количество дырок образуется за счет перехода электронов в зону проводимости. Благодаря этому полупроводник р -типа наряду с основными носителями тока – дырками - обладает некоторым количеством неосновных носителей тока- электронами проводимости.

Если в пластину из монокристалла германия, например, с электронным механизмом проводимости (п -типа) вплавить кусочек индия, то атомы индия диффундируют в германий на некоторую глубину и получается пластина германия, в различных частях которой проводимость разная.

Тонкий слой на границе между двумя областями одного и того же кристалла, отличающийся типом примесной проводимости, называют р-n -переходом. Во всех полупроводниковых приборах присутствуют р-п -переходы, которые обусловливают их работу.

Свободные электроны в полупроводнике n -типа обладают большой энергией, чем дырки в валентной зоне полупроводника р -типа, поэтому электроны из полупроводника n -типа переходят в полупроводник р -типа. В результате этого перехода уровень Ферми у первого полупроводника понижается, а у второго- повышается. Переход заканчивается, когда уровни Ферми в обоих полупроводниках уравниваются (рис. 2).

Нижняя граница зоны проводимости определяет изменения потенциальной энергии электронов в направление, перпендикулярно к р-n -переходу. Заряд дырок противоположен заряду электрона, поэтому их потенциальная энергия больше там, где меньше потенциальная энергия электрона.

Благодаря переходу электронов в р -полупроводник в близи границы создается избыток отрицательных зарядов, а в n -полупроводнике, наоборот, избыток положительных зарядов. Поэтому на границе возникает электрическое поле, вектор напряженности которого направлен от полупроводника n-типа к полупроводнику р -типа (рис. 3).

В результате этого возникает запорный слой, обедненный основными носителями заряда (количество основных носителей заряда вблизи контакта каждой области уменьшается).

Одновременно возникает потенциальный барьер, препятствующий движению основных носителей заряда. Не основные носители могут свободно диффундировать из одной области в другую под действием этого поля.

Устройство, состоящее из двух материалов различной проводимости, называется полупроводниковым диодом. Если его подключить к источнику напряжения так, чтобы положительный потенциал был подан на р -область, а отрицательный на n -область, то в диоде появится электрическое поле , созданное источником напряжения и направленное навстречу полю р-n -перехода (рис. 4). Оно ослабляет действие поля р-n - перехода и понижает потенциальный барьер. Область контакта обогащается основными носителями зарядов. Сопротивление контакта уменьшается. Под действием сторонних сил источника в цепи пойдет ток, направленный в диоде от р - к n -области. Такое включение источника называется прямым. р-n -переход при этом обладает сопротивлением , которое можно подсчитать из формулы:

где и - соответственно напряжение и ток в контакте в проходном направлении.

Если же источник включить, как показано на рис. 5, электрическое поле источника, складываясь с полем запорного слоя, усиливает запорное поле. При этом потенциальный барьер возрастает, а запорный слой увеличивается. Через контакт могут переходить лишь неосновные носители заряда. Так как их концентрация мала, то ток, идущий через контакт, мал. Такое включение источника называется запорным.

Сопротивление р-n -перехода в этом случае определяется по формуле:

где U -и I - соответственно напряжение и токи в контакте в запорном направлении.

Зависимость I(U) тока, протекающего по диоду, от приложенного к нему напряжения называется вольт- амперной характеристикой диода. Эта зависимость показана на рис. 6.

Количественно выпрямляющее действие диода оценивается коэффициентом выпрямления К . Коэффициент выпрямления равен отношению прямого тока к току в запорном направлении при одинаковых напряжениях:

Коэффициент выпрямления К не остается постоянным в разных режимах работы диода. С увеличением напряжения U он возрастает, достигая при некотором максимального значения, а затем убывает.

Односторонняя проводимость полупроводникового диода позволяет использовать его для выпрямления переменного тока.

В полупроводниковой пластинке можно создать два р-п - перехода. Такое устройство называют транзистором. В зависимости от порядка чередования областей с разными типами проводимости различают р-n-р и n-р-n - транзисторы. В их работе нет принципиальной разницы.

Рассмотрим работу транзистора типа р-n-p (рис. 7). Средняя часть транзистора называется базой. Прилегающие с обеих сторон к базе области имеют иной, чем у нее, тип проводимости. Они образуют эмиттер и коллектор транзистора. Для того, чтобы транзистор работал, нужно на переход эмиттер-база подать напряжение от эмиттерной батареи GB 1 в прямом направлении, на переход база- коллектор- постоянное напряжение от коллекторной батареи GB 2 в обратном направлении. Входное напряжение , которое нужно усилить, подается на входное сопротивление небольшого численного значения. Усиленное напряжение снимается с выходного сопротивления . Так как при подаче обратного напряжения сопротивление перехода база- коллектор оказывается большим, то в коллекторную цепь можно включить большое выходное сопротивление . Таким образом, . Протекание тока в цепи эмиттера сопровождается проникновением дырок из эмиттера (р -область) в базу (n -область). Изменение тока эмиттера в зависимости от величины приложенного к нему напряжения такое же, как и изменение тока в полупроводниковом диоде. Если бы толщина базы транзистора составляла 0,1 см или более, то ток существовал бы лишь в замкнутой цепи эмиттера, а на цепи коллектора, к которому приложено обратное напряжение, существование этого тока никак бы не отразилось. В этом случае в цепи коллектора протекал бы микроток, обусловленный неосновными носителями, которым практически можно пренебречь. Если же база транзистора достаточно тонкая, то дырки, попавшие в базу из эмиттера, диффундируют сквозь базу и оказываются у коллектора. Для перехода база - коллектор они являются неосновными носителями заряда и под действием сильного ускоряющего поля коллектора проходят через всю его цепь, создавая напряжение на выходном сопротивлении коллектора. Если база достаточно тонка, то через коллектор проходит большая часть дырок (99 % и более), эмиттеруемых в базу. Таким образом, ток в коллекторной цепи приблизительно равен току в эмиттерной цепи.

Так как по закону Ома

то транзистор, подключенный в схему с общей базой, дает усиление напряжения , и, соответственно, мощности, которое равно:

.

Надо отметить, что усиление напряжения происходит за счет батареи коллектора. Работа транзистора сходна с работой вакуумного триода. При этом роль катода выполняет эмиттер, роль сетки - база и роль анода - коллектор. В вакуумном триоде, изменяя напряжение между катодом и сеткой, изменяют величину анодного тока. Аналогично в транзисторе, изменяя напряжение между эмиттером и базой, изменяют величину тока в коллекторе.

Транзисторы имеют ряд преимуществ в сравнении с вакуумными триодами: они потребляют меньшую мощность, немедленно готовы к работе, их надежность и срок службы больше, а габариты меньше.

Статические характеристики транзистора - это зависимость тока от напряжения на входе и на выходе без подключения к прибору нагрузки (т.е. в цепи эмиттера и в цепи коллектора) (см. рис. 11).

Описание установки

Условные обозначения полупроводникового диода и транзисторов показаны на рис. 8.

Полупроводниковый диод в лабораторной работе включается по схеме рис. 9. В цепи используется многопредельный миллиамперметр. Включая его в цепь разными клеммами, можно изменять чувствительность миллиамперметра. Это дает возможность с высокой точностью измерять как прямой, так и обратный ток, несмотря на то, что их величины существенно отличны. Двухполюсный переключатель позволяет подавать на клеммы диода прямое и обратное напряжение.

Для снятия статических характеристик транзистора электрическая цепь собирается по схеме, показанной на рис. 10. Эта схема имеет две цепи: цепь эмиттера и коллектора.

В схеме используется транзистор типа р-n-р . Поэтому на эмиттер подается положительный, а на коллектор отрицательный потенциал по сравнению с базой.

Вольтметр и потенциометр Пэ в цепи эмиттера имеют меньшие пределы измерения и сопротивления, чем аналогичные приборы в цепи коллектора.

Выполнение работы

1. Собрать цепь по схеме (см. рис. 9) и с разрешения лаборанта подключить источник тока. Диод должен быть подключен к источнику тока в прямом направлении.

2. Изменяя потенциометром напряжение через 0,5 В, записать соответствующие значения тока (всего 5 - 7 измерений).

3. Переключателем подать на диод обратное напряжение, а затем уменьшить пределы измерения миллиамперметра, т.е. увеличить его чувствительность.

4. Увеличивая обратное напряжение от 0 через 0,1 В, отметить соответствующие значения тока (5 - 7 измерений).

10. Снять статическую эмиттерную характеристику. Для этого при постоянном U k определить изменение эмиттерного тока при изменении эмиттерного напряжения от нуля через 0,5 В (5 - 7 измерений).

11. Снять две статические коллекторные характеристики. Для этого, установив эмиттерный ток I э 1 , определить изменение коллекторного тока при изменении U k от нуля через 0,2 В (5 - 7 измерений).

12. Проделать аналогичные измерения при эмиттерном токе I э 2 .

13. Данные измерений занести в табл. 2.

Таблица 2

U k = const	I э 1 = 3 mA	I э 2 = 6 mA
U э	I э	U к	I к	U к	I к

14.
Построить статические характеристики полупроводникового триода, как показано на рис. 11.

Контрольные вопросы

1. Как влияют примеси на электропроводимость полупроводников?

2. Объяснить образование р-n -перехода и его свойства?

3. Как подключить источник тока к диоду в прямом, в обратном направлениях? Что при этом происходит в р-n -переходе?

4. Почему ток в цепи при включении диода в проходном направлении больше тока в запорном направлении?

5. Какие внешние факторы изменяют проводимость полупроводника?

6. Почему при достаточно большом запорном напряжении обратный ток возрастает (см. участок аb на рис. 6)?

7. Что характеризует коэффициент выпрямления К ? Как изменяется К с изменением напряжения?

8. Сравнить сопротивления R+ и R- при одинаковых напряжениях. Какие из них больше, почему?

9. Устройство и работа транзистора. Что такое эмиттер, коллектор? Можно ли их поменять местами? Почему? С какой целью база изготовляется малой толщины?

10. Почему при меньшем токе на эмиттере ток насыщения коллектора мал? Что такое ток насыщения коллектора?

11. Почему при коллекторном напряжении, равном нулю, ток в коллекторе ?

12. Усиливает ли транзистор, включенный по схеме с общей базой, величину тока? Объяснить усиление транзистором напряжения и мощности.

13. Как включить источник тока к эмиттеру, к коллектору?

14. Объяснить на статических характеристиках, как влияет изменение эмиттерного напряжения на величину тока насыщения коллектора, почему?

Лабораторная работа № 7

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ШИРИНЫ ЗАПРЕЩЕННОЙ ЗОНЫ ПОЛУПРОВОДНИКОВ ИЗ ИЗМЕРЕНИЙ ТЕМПЕРАТУРНОЙ ЗАВИСИМОСТИ УДЕЛЬНОЙ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТИ

Цель работы

1) Изучение основ зонной теории твердого тела, статистики носителей заряда в полупроводниках и механизмов рассеяния электронов и дырок в полупроводниках.

2) Изучение температурной зависимости удельной электропроводности полупроводников в области собственной проводимости и примыкающей к ней области примесной проводимости (интервал температур 300 K - 490 К).

3) Определение ширины запрещенной зоны полупроводника.

Теоретические сведения

Зонная теория твердых тел

Энергия Е и импульс свободного электрона могут принимать любые значения. В отсутствии внешних сил они сохраняют свою величину, то есть являются интегралами движения. Связь энергии с импульсом определяется следующим выражением.

,

(1)

где m - масса свободного электрона; - волновой вектор электрона; = - постоянная Планка, делённая на 2p.

Энергетический спектр электрона в изолированном атоме - дискретный. Состояние электрона в изолированном атоме может быть описано четвёркой квантовых чисел:

Главным n,

Орбитальным l ,

Магнитным m e ,

Спиновым m s .

Согласно принципу Паули в атоме не может существовать двух или более электронов с одинаковой четвёркой квантовых чисел.

Физические свойства твёрдых тел тесно связанны со структурой валентных оболочек атомов. В идеальном кристалле атомы расположены строго в узлах пространственной решетки. При образовании кристалла из изолированных атомов их электронные оболочки перекрываются, что приводит к расщеплению дискретных энергетических уровней в разрешенные энергетические зоны, отделённые друг от друга запрещёнными зонами (рис. 1). Число энергетических уровней в разрешенной зоне для кристаллов с простой кристаллической структурой равно числу атомов в кристалле N .

В отличие от свободного электрона у электрона, находящегося в периодическом поле кристалла, скорость и импульс меняются от точки к точке в весьма широких пределах. Однако если учесть периодический характер потенциала, то из закона сохранения энергии вытекает, что среднее значение скорости и импульса сохраняют в отсутствие внешних полей постоянные значения.

Учитывая это, можно для электрона в кристалле ввести по аналогии со свободным электроном понятие квазиимпульса, определив его следующим соотношением.

,

(2)

где - квазиволновой вектор электрона, , h =6.62∙10 -34 Дж∙с - постоянная Планка, =1.055∙10 -34 Дж∙с.

Компоненты векторов идискретны.

(3)

где L x , L y , L z – размеры кристалла; n х,n у,n z = 0, ±1, ±2, ±3... -целые числа. Вместе со спином они образуют четвёрку квантовых чисел, характеризующих состояние электрона в кристалле: k x , k y ,k z ,m s .

Рис.1. Образование энергетических зон в кристалле из атомных энергетических уровней: x - расстояние между соседними атомами a- параметр решетки.

Энергия электрона в кристалле определяется его квазиимпульсом. Нахождение зависимости или является основной задачей зонной теории.

Вблизи экстремумов энергии (у потолка и дна разрешенной зоны) функцию можно разложить в ряд, ограничившись квадратичным членом. Для одномерного случая получаем.

При этом выражение (3) примет вид:

.

(6)

Эффективная масса для одномерного случая является скаляром, а в общем случае - тензором второго ранга.

Эффективная масса отражает тот факт, что на электрон в кристалле, кроме внешних сил, действует внутренние силы со стороны периодического потенциала кристаллической решетки. При движении электрона в кристалле может случиться, что его потенциальная энергия уменьшиться, а, следовательно, его кинетическая энергия станет больше работы сил поля (в кинетическую энергию перейдёт часть потенциальной энергии). В этом случае электрон будет вести себя как очень лёгкая частица, т.е. частица с массой, меньше массы свободного электрона. Может быть и так, что увеличение потенциальной энергии будет больше работы внешних сил, то есть в потенциальную энергию перейдет часть кинетической - скорость электрона уменьшится, и он будет вести себя как частица с отрицательной массой.

Из сказанного следует, что эффективная масса совершенно не обязательно должна быть равной массе свободного электрона.

Согласно зонной теории проводимость кристаллов определяется структурой и заполнением энергетических зон.

Рис.2 Структура энергетических зон германия, кремния и арсенида галлия.

В электрическом поле электрон ускоряется и увеличивает энергию. На энергетической диаграмме это соответствует переходу электрона на более высокий энергетический уровень. Однако если все уровни в зоне будут заполнены электронами, такие переходы запрещаются принципом Паули. Следовательно, электроны полностью заполненной зоны не могут принимать участия в электропроводности.

В металлах при любой температуре, в том числе и при температуре абсолютного нуля, самая верхняя разрешенная зона, содержащая электроны, заполнена не полностью. Поэтому материалы являются хорошими проводниками.

В полупроводниках и диэлектриках при температуре абсолютного нуля наивысшая зона, содержащая электроны и называемая валентной зоной, полностью заполнена. В этом случае полупроводники и диэлектрики не могут проводить электрический ток.

Рис.3. Схема заполнения энергетических зон в диэлектрике и полупроводнике

Следующая за валентностью зона, называется зоной проводимости, при температуре абсолютного нуля пуста. Электроны могут попасть в зону проводимости из валентной зоны только преодолев запрещённую зону шириной DЕ = E C - E V (рис. 2, 3). Вероятность такого перехода пропорциональна и поэтому сильно зависит от ширины запрещённой зоны и температуры. Это позволяет к полупроводникам условно относить вещества с DЕ < 2,5 эВ, к диэлектрикам с DЕ > 2,5 эВ.

После ухода электрона из валентной зоны она становится не полностью заполненной и, следовательно, способной участвовать в электропроводности. Оказывается, что поведение всей совокупности электронов валентной зоны с одним удалённым электроном эквивалентно поведению одного положительного заряда, который называется дыркой. Эффективная масса дырки m p положительна и равна эффективной массе электрона, который занимал вакантное место в валентной зоне.

Таким образом, проводимость полупроводников обусловлена электронами зоны проводимости и дырками валентной зоны.

Собственный полупроводник

В собственном полупроводнике электроны и дырки возникают и исчезают всегда парами, поэтому концентрации электронов п и р равны:

где е - заряд электрона; m n и m р - подвижности соответственно электронов и дырок, представляющие собой скорости их дрейфа в единичном электрическом поле.

В табл. 1 приведены значения ширины запрещенной зоны и собственной концентрации для наиболее важных полупроводников при комнатной температуре.

Таблица 1

Ширина запрещённой зоны и собственная концентрация некоторых полупроводников при комнатной температуре

Примесный полупроводник

При рассмотрении собственного полупроводника предполагалось, что его кристаллическая структура идеальна, то есть атомы располагаются точно в узлах пространственной решетки. Зонная теория твёрдого тела показывает, что всякое нарушение периодического потенциала решетки кристалла приводит к возникновению локальных энергетических уровней в запрещенной зоне. Таким нарушением кристаллической структуры могут быть атомы примесей, вакансии, дислокации и др.

Полупроводниковые материалы любой степени очистки всегда содержат атомы примеси, которые создают собственные энергетические уровни, получившие название примесных уровней. Они могут располагаться как в разрешенных, так и в запрещенных зонах. Во многих случаях примеси вводят специально, для придания полупроводнику необходимых свойств.

Пусть в кристалле кремния один атом полупроводника замещён атомом примеси V-ой группы периодической таблицы Менделеева, например мышьяком (рис.4, а).

Рис.4 а), б). Образование свободных («примесных») электронов проводимости при ионизации донорной примеси в кремнии.

Атом мышьяка имеет пять валентных электронов. Четыре из них образуют прочные ковалентные связи с четырьмя ближайшими атомами кремния. Связь пятого валентного электрона с атомом мышьяка существенно ослабляется из-за влияния окружающих атомов кремния. Это приводит к уменьшению энергии, необходимой для отрыва валентного электрона от атома фосфора примерно в 1/e раз (e - диэлектрическая проницаемость полупроводника). На зонной диаграмме энергетический уровень этого электрона располагается вблизи дна зоны проводимости и называется донорным уровнем E D (рис.4 б). Для ионизации атома мышьяка теперь требуется энергия, равная DE D = Е C – E D , по порядку величины составляющая сотые доли электрон-вольт. Эта энергия сравнима с величиной средней тепловой энергии решетки при комнатной температуре кТ= 0,025 эВ. Поэтому под действием тепловых колебаний решетки электрон может перейти с донорного уровня в зону проводимости, создавая примесную электронную проводимость.

Атомы примеси 3 группы периодической таблицы, например бор, создают на зонной диаграмме акцепторные энергетические уровни Е A , расположенные вблизи потолка валентной зоны (рис. 4 в). Величина энергии ионизации акцепторной примеси DЕ A = Е A - E V также составляет сотые доли электрон-вольт, поэтому электроны из валентной зоны могут переходить на акцепторные уровни под действием тепловой ионизации (рис.4 г). Это приводит к образованию свободных дырок в валентной зоны и примесной проводимости.

Рис.4 в), г). Образование свободных («примесных») дырок проводимости при ионизации акцепторной примеси в кремнии.

Примеси, создающие донорные уровни в полупроводнике, называются донорами, создающие акцепторные уровни ― акцепторами (табл.2).

Если в полупроводнике преобладает донорная примесь (N D >>N A ) концентрация электронов в зоне проводимости оказывается много больше концентрации дырок в валентной зоне: n >>p . Такой полупроводник называется электронным, или полупроводником n –типа проводимости, а его удельная электропроводность определяется следующим соотношением.

В полупроводнике с преобладанием акцепторной примеси, наоборот, p>>n. Такой полупроводник называется дырочным, или полупроводником р-типа проводимости, а его удельная электропроводность равна

где E F - энергия Ферми, или уровень Ферми.

Легко видеть, что при Е = E F величина f = 0,5; следовательно, энергия Ферми - это энергия такого состояния, вероятность заполнения которого равна 0,5 при любой температуре.

На рис.5 представлена функция распределения Ферми- Дирака для двух температур.

Рис.5. Функция распределения Ферма - Дирака при T = 0 K и при T >0 K

При температуре абсолютного нуля функция Ферми-Дирака равна единице вплоть до энергии E F , после чего она скачком падает до нуля. Это значит, что все состояния с энергиями ниже уровня Ферми заняты, а все состояния с более высокими энергиями свободны, вероятность их заполнения равна нулю.

При повышении температуры резкая ступенька около энергии E F начинает «расплываться», притом тем больше, чем выше температура. Размер области размытия dE составляет величину порядка кТ.

Как уже упоминалось, общее число уровней в любой из разрешенных зон равно числу атомов в кристалле и составляет примерно 1·10 22 см -3 . Число же свободных электронов в полупроводниках обычно колеблется в пределах 1·10 12 – 1·10 18 см -3 . Это означает, что доля занятых состояний в зоне проводимости, как правило, ничтожно мала, то есть обычно f <<1. Из формулы (10) следует, что

В этом случае функция распределения Ферми - Дирака переходит в функцию распределения Максвелла - Больцмана:

(12)

Электронный газ, подчиняющийся статистике Максвелла - Больцмана, называется невырожденным. Для электронов в зоне проводимости распределение (12) справедливо, если уровень Ферми располагается ниже дна зоны проводимости на величину не менее ЗкТ. Аналогично можно показать, что дырочный газ не вырожден, если уровень Ферми расположен выше потолка валентной зоны на величину не менее ЗкТ.

Рис.6. Функция распределения Ферми – Дирака при T >0 K, наложенная на энергетическую диаграмму полупроводника

Полупроводник называется не вырожденным, если в нём не вырождены как электронный, так и дырочный газ. Уровень Ферми в таком полупроводнике расположен в запрещенной зоне внутри интеграла энергии от E V +ЗкТ до Е C - ЗкТ.

Если уровень Ферми оказался вне этого интервала, функцию распределения Ферми - Дирака уже нельзя заменить функцией распределения Максвелла-Больцмана. Полупроводники называются полностью вырожденными, если уровень Ферми заходит в глубь зоны проводимости (для электронного полупроводника) или в глубь валентной зоны (для дырочного полупроводника) Боле, чем на 5кТ.

На рис.6 функция Ферми - Дирака изображена непосредственно на схеме энергетических уровней полупроводника. Параметр E F показывает, как нужно располагать функцию fотносительно энергетических уровней системы.

Концентрация электронов и дырок

Зная функцию распределения электронов и дырок и плотности квантовых состояний в зоне проводимости и валентной зон, можно вычислить концентрации электронов и дырок. Для невырожденного полупроводника расчёт даёт:

	(13)
,	(14)

, - эффективные плотности состояний соответственно в зоне проводимости и валентной зоне. Численные значения N C , N V для германия, кремния и арсенида галлия при комнатной температуре (300 K) приведены в таблице 3.

Таблица 3

Величины m C и m V называются эффективными массами плотности состояний соответственно электронов и дырок. Они определяются эффективными массами электронов и дырок и структурой энергетических зон полупроводника. Перемножая концентрации электронов (6) и дырок (7), получим

Температурная зависимость концентрации носителей

Рассмотрим температурную зависимость концентрации основных носителей на примере полупроводника n –типа проводимости. Свободные электроны в полупроводнике п – типа проводимости возникают благодаря их переходам из валентной зоны в зону проводимости, что приводит образованию р свободных дырок, и с уровней донорной примеси, благодаря чему возникает N D + ионов доноров (рис.7).

(18)

При Т > 0 К эти два процесса играют неодинаковую ролью Для перевода электрона из валентной зоны в зону проводимости необходима энергия, равная ширине запрещенной зоны DЕ порядка 0,5 - 2,5 эВ, в то время, как для перевода электрона с уровня примеси необходима, энергия равная энергии ионизации примеси E D =Е C -E D порядка 0,05 эВ. Что значительно меньше ширины запрещенной зоны DЕ .

Температурная зависимость концентрации электронов представлена на рис.8. Для её изображения выбран наиболее рациональный логарифмический масштаб по оси ординат и обратная температура по оси абсцисс. В таком представлении участки экспериментального изменения концентрации с температурой выглядит прямыми линиями, наклон которых определяется соответствующими энергиями активации.

При низких температурах основную роль играют переходы электронов с примесного уровня, переходами электронов из валентной зоны можно пренебречь. Эта область температур называется областью ионизации примеси. Как показывает расчет, в этой области концентрация электронов растёт экспоненциально. Из наклона прямой на этом участке зависимости ln(n ) = f(1/T ) можно определить энергию активацию примеси E D .

Рис.7. Тепловая генерация носителей заряда в полупроводнике с донорной примесью

Рис.8. Температурная зависимость концентрации электронов в n-германии с концентрацией доноров N D =1.5·10 15 см -3 . 1 – область ионизации примеси, 2 – область истощения примеси, 3 – область собственной проводимости

Рост концентрации электронов продолжается до температуры T S , называемой температурой истощения примеси. По достижении этой температуры вся примесь оказывается полностью ионизированной. В то же время переходами электронов из валентной зоны всё ещё можно пренебречь. Поэтому в области температур от T S до T I , называемой областью истощения примеси, концентрация электронов остаётся постоянной, равной концентрации донорной примеси: n =N D . Температура T I называется температурой перехода к собственной проводимости.

По достижении температуры T I концентрации дырок и электронов сравниваются. При температурах, больших T I , можно пренебречь концентрацией электронов, перешедших с донорных уровней в зону проводимости. Основную роль играют переходы из валентной зоны, и полупроводник становится собственным: n =p =n i и температурная зависимость концентрации в области собственной проводимости описывается выражением (17).

Температурная зависимость подвижности носителей заряда

В идеальном кристалле электроны и дырки свободно движутся и не сталкиваются друг с другом и с атомами полупроводника. В реальном кристалле всегда имеются нарушения периодичности решетки - центры рассеяния.

При взаимодействии с центром рассеяния электроны и дырки изменяют направление движения. После столкновения носители зарядов остаются в той же зон, то есть их концентрация не меняется. Наиболее эффективными центрами рассеяния электронов и дырок в кристаллах являются ионы примесей и тепловые колебания атомов решетки.

При низких температурах преобладает рассеяние на ионизированных атомах примеси. Для z - кратно заряженных ионов примеси подвижность следующим образом зависит от температуры.

где m TO - коэффициент, не зависящий от температуры.

Общий вид зависимости, обусловленной комбинациями обоих типов рассеяния, показан на рис.9.

Чем больше концентрация заряженных центров в полупроводнике, тем при более высоких температурах происходит переход от рассеяния на ионизированных атомах примеси к рассеянию на тепловых колебаниях решетки.

Уже при достаточно низких температурах в полупроводниках начинает преобладать рассеяние носителей на тепловых колебаниях решетки и зависимость подвижности от температуры обратно пропорциональна абсолютной температуре в степени p . Как следует из результатов экспериментальных исследований, у большинства полупроводников показатель степени p не равен теоретическому значению -3/2. В таблице 4 приведены значения показателя p для различных полупроводниковых материалов (m ~T p ). Отличие показателя p от -3/2 может быть объяснено тем, что в реальных полупроводниках рассеяние носителей заряда происходит не только на акустических фононах. Могут иметь место и другие механизмы рассеяния, такие как рассеяние на оптических фононах, двухфононное рассеяние, рассеяние на носителях заряда.

Рис.9. Типичные температурные зависимости подвижности электронов в кремнии n-типа проводимости; N D 1 <N D 2 <N D 3

Таблица 4

Температурная зависимость удельной электропроводности

Зависимость электропроводности полупроводника от температуры s(Т) определяется температурными зависимостями концентрации основных носителей (для определенности, электронов) n(T) (рис.8) и их подвижности m(T) (рис. 9).

.

(23)

В области истощения примеси концентрация электронов постоянна, поэтому ход кривой s(Т) определяется только зависимостью m(T) . Если провести достаточно точные измерения температурной зависимости удельной электропроводности в области истощения примеси, то по этой зависимости в некоторых случаях можно определить вид полупроводникового материала. Например, легко можно отличить кремний n-типа проводимости от германия n-типа проводимости.

На рис.10 представлены зависимости удельной электропроводности кремния n-типа проводимости от обратной температуры в широком диапазоне температур и в диапазоне температур от комнатной температуры до T =300 ºC.

В области собственной проводимости, где концентрация экспоненциально растёт с температурой, можно пренебречь слабой зависимостью m(T). В этой области ход кривых s(Т) и п(Т) различается незначительно, что позволяет использовать температурную зависимость электропроводности в области собственной проводимости для определения ширины запрещенной зоны полупроводника.

Используя выражения (3) и (9), электропроводность полупроводника в области собственной проводимости можно записать в виде

где С - некоторая константа.

Прологарифмировав обе части уравнения (25) получим линейную зависимость логарифма удельной электропроводности от обратной температуры.

.

(26)

Температурная зависимость ширины запрещенной зоны

Величина DЕ , вычисленная по формуле (26), даёт истинное значение ширины запрещённой зоны лишь при DЕ =const. В действительности DЕ зависит от температуры. Эта зависимость определяется сложным комплексом причин, обусловленных статическими и динамическими факторами. К уменьшению ширины запрещенной зоны может приводить рост амплитуды тепловых колебаний атомов кристаллической решетки и увеличение расстояний между атомами при термическом расширении кристалла. Учесть строго эти факторы невозможно, поэтому зависимость ширины запрещенной зоны от температуры находят эмпирически.

Ширина запрещенной зоны линейно зависит от температуры при температурах выше комнатной и квадратично при низких температурах (рис.11).

Для линейного участка (при температурах выше комнатной) зависимость DЕ(Т) можно представить в следующем виде

Окончательно ширина запрещённой зоны (в эВ), полученная экстраполяция к абсолютному нулю, равна:

,

(31)

где .

Для нахождения ширины запрещённой зоны при комнатной температуре необходимо воспользоваться формулой (27).

Рис.11. Температурная зависимость ширины запрещенной зоны германия

Наиболее точно ширину запрещённой зоны при любой температуре определяют экспериментально с помощью оптических методов, основанных на исследовании спектральных зависимостей поглощения, фотопроводности и люминесценции.

Экспериментальная часть: Методика выполнения работы

1. Образец для измерений

Измерение зависимости s (T )проводят наобразце Ge, который схематично показан на рис.13. Образец представляет собой брусок германия n-типа проводимости. Металлизированные контакты I и IV служат для пропускания тока вдоль образца, контакты II и III - для измерения падения напряжения на участке образца. Размеры образца: c =4 мм, d =4 мм, l =5.5 мм.

2. Описание лабораторной установки

Блок-схема макета лабораторной установки для измерения температурной зависимости удельной электропроводности полупроводника представлена на рис.13. Измерения сопротивления образца производится четырехконтактным методом.

Макет измерительной установки состоит из следующих блоков.

1. Управляющий компьютер.

2. Источник напряжения постоянного тока Agilent E3434A, служащий для задания тока через резистивный нагреватель в измерительной камере (Н). Источник управляется компьютером через интерфейс PCI – GPIB, NI-488.2 фирмы «National Instruments».

3. Источник напряжения постоянного тока Agilent E3434A, служащий для задания тока через контакты I и IV образца. Источник управляется компьютером через интерфейс PCI – GPIB, NI-488.2 фирмы «National Instruments».

4. Коммутатор, служащий для изменения направления тока через образец и стабилизации его в процессе измерений. Коммутатор управляется компьютером через интерфейс LPT. Резистор R в коммутаторе служит для поддержания тока через образец постоянным в процессе изменения температуры образца.

5. Вольтметр Agilent E34405A, контролирующий падение напряжения на образце (контакты II и III

6. Вольтметр Agilent E34405A, контролирующий ток через образец (контакты I и IV ). Вольтметр управляется компьютером через интерфейс USB.

7. Вольтметр Agilent E34405A, контролирующий напряжение термопары (ТП). Вольтметр управляется компьютером через интерфейс USB.

8. Термокамера, в которой размещены резистивный нагреватель образца Н и термопара ТП , подключенные к соответствующим выводам. Внутри камеры установлен измеряемый образец, который подключен к четырем выводам из камеры. Спай термопары прижат к поверхности образца.

3. Подготовка к проведению измерений

1) Проверьте по блок-схеме правильность соединения блоков макета установки.

2) Включите вольтметры и источники напряжения и дайте им прогреться в течение примерно 5 мин. Все приборы после включения должны пройти самотестирование.

3) Включите управляющий компьютер. После его включения загружается программа соединения блоков макета установки с компьютером «Agilent Connection Expert».

4) Запустите на исполнение прикладную программу измерения температурной зависимости удельной электропроводности полупроводника - ярлык «Lab1 » (рис.14). Путь к нему: либо Рабочий стол , либоРабочий стол \ папка «Лаб.работы» \ папка«ФТТ и ПП» \папка «L-1 ».

5) После запуска этой программы на экране видеомонитора появится окно, содержащее главное меню (рис.15).

4.
Проведение измерений

Главное меню служит для выбора одной из четырех опций, которым соответствуют четыре меню первого уровня.

1) Опция «Имитация» предназначена для проведения имитационных измерений зависимости удельной электропроводности в диапазоне температур от комнатной до температуры 470 К обеспечивает следующее:

Ввод исходных данных об образце и режиме имитационного измерения температурной зависимости удельной электропроводности;

Собственно имитационное измерение;

Запись данных в файл.

2) Опция «Помощь», служит для ознакомления с целью проведения лабораторной работы, основными теоретическими сведениями и методикой проведения измерений.

3) Опция «Измерения» предназначена для проведения реальных измерений удельной электропроводности в диапазоне температур от комнатной температуры до температуры 490 К обеспечивает следующее:

Ввод исходных данных об образце и режиме измерения температурной зависимости удельной электропроводности;

Температурной зависимости удельной электропроводности;

Собственно измерение;

Вывод результатов измерения в графическом виде;

Обработку результатов измерения;

Запись данных в файл.

Температура кристалла может оказывать заметное влияние на все физические величины, определяющие поглощение и испускание света: на положение и ширину уровней энергии, на вероятности переходов и распределение электронов по

уровням. В условиях термодинамического равновесия или квазиравновесного распределения электронов и дырок по отдельности населенности уровней энергии задаются функцией Ферми - Дирака, в которую входит один параметр - уровень Ферми (или два квазиуровня, один для электронов, а второй для дырок). В обоих случаях величина этого параметра, а следовательно, и функция распределения электронов весьма чувствительны к изменению температуры (§ 3).

Из принципа детального равновесия следует, что в условиях термодинамического равновесия вероятности прямых и обратных переходов, например вероятность спонтанных переходов и вероятность вынужденных переходов, индуцированных планковской радиацией (§ 7), вероятность захвата носителя ловушкой и вероятность ионизации ловушки, вероятность связывания электрона и дырки в экситон и вероятность диссоциации экситона, связаны между собой универсальным соотношением типа (9.20). В этом соотношении температура входит в показатель экспоненты. Поэтому степень ионизации примесей, концентрация экситонов в определенном интервале температур будут сильно изменяться с повышением температуры.

Из оптических и электрических исследований свойств, полупроводников следует, что положение и ширина энергетических зон и примесных уровней также являются чувствительными функциями температуры. Запрещенная зона большинства полупроводников уменьшается с ростом температуры. В арсениде галлия с увеличением температуры от 21 до 294 °К край фундаментальной полосы поглощения и экситонная линия поглощения смещаются более чем на (рис. 49) . При комнатной температуре экситонная линия едва заметна. Она отчетлива видна при . С понижением температуры ее интенсивность растет, а ширина уменьшается.

Рис. 49. Зависимость края фундаментальной полосы поглощения и экситонной линии поглощения арсенида галлия от температуры : 1-294 °К; 2-186; 3-90; 4-21 °К

Надеется несколько полупроводников (PbS, PbSe, Te), у которых повышение температуры сопровождается увеличением ширины запрещенной зоны. Аномальное температурное смещение края полосы поглощения сернистого свинца видно, например, на рис. 38.

Температурная зависимость ширины запрещенной зоны связана в основном с двумя эффектами. Во-первых, при нагревании кристалла увеличивается расстояние между узлами решетки, а следовательно, изменяется вид потенциальной функции. Как было показано в § 2 на примере модели Кронига и Пенни, чем больше размеры потенциальной ямы для электрона, тем шире зоны разрешенной энергии и меньше расстояние между ними. В пределе запрещенная зона исчезает полностью. При высоких температурах расширение решетки происходит пропорционально температуре, а при низких - по более сложному закону. Для некоторых алмазоподобных полупроводников в определенном температурном интервале коэффициент расширения принимает даже отрицательные значения.

Во-вторых, с увеличением температуры растет интенсивность колебаний решетки и увеличивается электрон-фононное взаимодействие, приводящее к смещению потолка валентной зоны и дна зоны проводимости. Расчеты показывают , что это дает основной вклад в температурную зависимость запрещенной зоны. При температурах где температура Дебая (§ 4), ширина запрещенной зоны пропорциональна а если то линейно зависит от

Ширина запрещенной зоны:

Полупроводник называется собственным или типа i (intrinsic), если в нем отсутствуют какие-либо примеси. В этом случае свободные электроны и дырки образуются попарно только за счет тепловой генерации и рекомбинируют также попарно. Следовательно, в собственном полупроводнике концентрация свободных электронов равна концентрации дырок. Поскольку ширина запрещенной зоны полупроводника зависит от температуры, определим ее, используя зависимость

Параметры GaAs возьмем из таблицы 2: , , . Для температуры 170 К ширина запрещенной зоны равна

Концентрация собственных носителей заряда

Концентрация собственных носителей заряда определяется как

, .

Согласно закону «действующих масс» , следовательно

Эффективные плотности состояний:

Определим эффективные плотности состояний в зоне проводимости и в валентной зоне

Зная эффективные плотности состояний можно определить собственную концентрацию носителей заряда

Положение уровня Ферми:

Определим положение уровня Ферми в собственном полупроводнике. Концентрации носителей заряда в собственном полупроводнике равны

, .

Поскольку в собственном полупроводнике концентрация электронов равна концентрации дырок, приравняем эти выражения и выразим уровень Ферми

Найдем положение уровня Ферми относительно середины запрещенной зоны. Поскольку энергия уровней измеряется в электрон-вольтах (эВ), возьмем постоянную Больцмана , получим

Следовательно, уровень Ферми в собственном полупроводнике лежит выше середины запрещенной зоны на 0.021 эВ.

Подвижности носителей заряда:

Подвижности электронов и дырок в реальных полупроводниках, вследствие процессов рассеяния, ниже подвижностей в кристаллах с идеальной решеткой. В полупроводниках рассеяние носителей заряда происходит в основном на акустических фононах и на ионах примесей. В разных температурных диапазонах будет доминировать тот или иной механизм рассеяния, и он будет определять величину и температурную зависимость подвижности. При низких температурах (T < 100 K) характер зависимости подвижности обусловлен рассеянием на ионах примесей. В области высоких температур (T > 100 K) подвижность уменьшается с ростом температуры вследствие рассеяния на акустических фононах и можно представить зависимость подвижности от температуры полуэмпирической моделью

,

где К, а – параметр, определяемый опытным путем. Значения для GaAs параметров

определяем по таблице 2. Тогда:

Удельное электрическое сопротивление:

Удельное электрическое сопротивление обратно пропорционально удельной электрической проводимости, которая равна

Отношение полного тока, протекающего через

полупроводник к дырочному току:

Полный ток через полупроводник равен сумме дырочной и электронной составляющих дрейфового и диффузионного токов. Так как инжекция и экстракция носителей заряда отсутствуют, то полупроводник находится в равновесном состоянии и диффузионная составляющая тока отсутствует (градиент концентрации равен нулю). Следовательно, полный ток равен дрейфовому току, который состоит из дырочной и электронной составляющих.

где Е – напряженность приложенного электрического поля. Отношение полного тока к дырочной составляющей будет равно

Задача 2.

Для полупроводника p -типа с концентрацией акцепторных примесей определить концентрацию основных и неосновных носителей заряда; положение уровня Ферми; удельное электрическое сопротивление; отношение полного тока, протекающего через полупроводник к дырочному току.

Исследование температурной зависимости электропроводности полупроводников.

Цель работы:

ознакомиться с основными теоретическими моделями электропроводности кристаллических тел

ознакомиться с экспериментальными методами определения ширины запрещенной зоны полупроводников;

исследовать температурную зависимость электропроводности собственных и примесных полупроводников;

Основные понятия зонной теории кристаллических тел.

Ширина запрещённой зоны относится к числу основных параметров полупроводниковых материалов, определяющих его свойства. Согласно зонной теории кристаллов, в случае полупроводника, нижняя, полностью заполненная энергетическая зона, которая образована рядом уровней валентных электронов атома, называется валентной зоной. Следующая, расположенная выше, зона разрешённых значений энергии, свободная при абсолютном нуле температуры, называется зонойпроводимости . Полоса запрещённых для электрона значений энергии, которая разделяет эти две зоны, носит названиезапрещённой зоны (рис.1).

Рис. 1. Зонная (энергетическая) диаграмма полупроводников.

При наличии примесных атомов в кристаллической решётке валентные электроны посторонних атомов могут иметь локальные энергетические уровни, так называемые примесные уровни, расположенные в запрещённой зоне. В этом случае, когда эти уровни заняты электронами и могут отдавать электроны в зону проводимости, их называютдонорными , если же уровни свободны и могут захватывать электроны из валентной зоны, то они называютсяакцепторными . Минимальная энергия, которую необходимо сообщить электрону для его перевода с донорного уровня в зону проводимости, или из валентной зоны на акцепторный уровень, называется энергией ионизации примеси.

Энергия ионизации примеси и ширина запрещённой зоны могут быть найдены из измерений зависимости электропроводности или постоянной Холла от температуры, а также из спектрального распределения коэффициента оптического поглощения или фототока полупроводника. В настоящей работе ширина запрещённой зоны полупроводника определяется на основании температурной зависимости электропроводности.

Методика определения ширины запрещённой зоны полупроводника.

Удельная электропроводность веществ, как известно, зависит от концентрации носителей заряда и их подвижности.

Для примесного полупроводника удельная электропроводность:

Для металлов σ=qnμ n , причём концентрация электронов практически не зависит от температуры и её можно считать постоянной.

По условию электронейтральности в собственном полупроводнике выполняется равенство n=p=n i , где индексiуказывает на принадлежность к собственному полупроводнику:

Ширина запрещённой зоны большинства полупроводников уменьшается с ростом температуры от значения ΔE g (0) при Т=0. При достаточно высоких температурах (но < 200К) эту зависимость можно списать линейной аппроксимацией:

где N=(N c N v) 1/2 = 2(2πm 0 kT/h 2) 3/2 ,N c , N v - эффективная плотность квантовых состояний в зоне проводимости и валентной зоне соответственно. (при комнатной температуреN=2,41*10 19 см -3).

Рассмотрим полупроводник, содержащий атомы примеси донорного типа. Пусть основное вещество полупроводника составляют атомы IVгруппы периодической системы элементов, а примесные атомы являются элементамиVгруппы. Наличие примеси приводит к появлению в запрещённой зоне локальных энергетических уровнейE d , расположенных вблизи зоны проводимости (рис. 1), то есть (E c -E d) <<ΔE g , поэтому при низких температурах можно пренебречь ионизацией основного вещества и считать, что концентрация носителей заряда в зоне проводимости определяется процессом ионизации донорных атомов:

n = (g -1 N d N c) 1/2 exp [- (E c -E d)/2kT],

где N d – концентрация донорной примеси;g– фактор спинового вырождения;g=2 для одновалентной донорной примеси;g= 4 для одновалентной акцепторной примеси в германии и кремнии.

Концентрация электронов в зоне проводимости описывается формулой (3) на так называемом участке “вымораживания” примеси, то есть в диапозоне от Т=0 до той области температур, где наблюдается полная ионизация (“истощение”) атомов примеси. В области истощения концентрация электронов в зоне проводимости не зависит от температуры и n=N d . Температурная граница областей вымораживания и истощения примесей обозначается Т s .

При дальнейшем увеличении температуры начинается интенсивный заброс носителей заряда из валентной зоны в зону проводимости и, начиная с некоторой температуры Т i , собственная концентрация носителей заряда преобладает над примесной. Таким образом, при Т > Т i проводимость примесного полупроводника можно считать собственной. Зависимость концентрации носителей заряда примесного полупроводника от температуры приведена на рис. 2, где участки вымораживания, истощения примеси и собственной проводимости обозначены соответственно цифрами 1, 2, 3.

В области высоких температур (Т>Т i) зависимость концентрации носителей заряда от температуры определяется множителемexp(-ΔE g / 2кТ), а в области низких температур (Т<Т s) - множителемexp[- (E c -E d)/2kT]. Чем выше концентрация примесейN d , тем больше область температур, в которой концентрация электронов в зоне проводимости не зависит от температуры, и тем при более высокой температуре начинается рост концентрации носителей заряда, обусловленный переходами из валентной зоны полупроводника через запрещённую зону, то есть ионизации её основного вещества.

Рис. 2. Температурная зависимость электропроводности примесного полупроводника

Зависимость подвижности носителей заряда в полупроводнике от температуры определяется механизмом рассеяния носителей и является степенной функцией температуры. В области, высоких температур подвижность определяется рассеянием носителей заряда на тепловых колебаниях решётки и уменьшается с ростом температуры по закону μ~Т 3/2 при рассеянии на акустических фононах, а в области низких температур, когда амплитуда колебаний атомов решётки мала, подвижность определяется рассеянием носителей заряда на ионизированных атомах примеси, причём в этой областиμ~Т 3/2 . Поэтому зависимость подвижности носителей заряда в полупроводнике от температуры представляется кривой с максимумом, а положение максимума зависит от концентрации примеси (рис. 3).

В соответствии с (1) зависимость удельной проводимости от температуры σ(Т) определяется температурными зависимостями подвижностей и концентрации носителей заряда. Сравнивая зависимости концентрации и подвижности от температуры, можно отметить, что зависимость подвижности от температуры будет определять температурную зависимость проводимости только в той области температур (Т i > Т> Т s), где концентрация носителей заряда постоянна; при других температурах зависимость проводимости от температуры определяется в основном температурной зависимостью концентрации носителей заряда. График зависимости удельной проводимости полупроводника от температуры в удобных для дальнейших расчётов координатахlnσ(1/Т) имеет вид, представленный на рис. 4.

Рис. 3. Температурная зависимость подвижности носителей заряда.

Рис. 4. Методика определения активационных (энергетических) параметров процесса электропроводности.

Для сравнения на рис. 5 показан график зависимости σ(Т) для металлов; объясняется такая зависимость увеличением рассеяния электронов на тепловых колебаниях решётки при увеличении температуры и соответствующим уменьшением подвижности носителей заряда в металле.

Рис. 5. Температурная зависимость удельного сопротивления металлов.

Таким образом, для собственного полупроводника из выражений (1) и (2) следует:

где (lnσ 0 +α/2k)=const, а -ΔE g о /2kесть угловой коэффициент линейной функции (5). Этот коэффициент можно определить графически, вычисляя тангенс угла наклона графика экспериментальной зависимостиlnσ(1/Т) на участке собственной проводимости (рис. 4, участок 3).

Действительно, на этом участке:

Подставляя значение ΔE g о в (2) с соответствующим данному веществу значениемα, можно вычислить ширину запрещённой зоны полупрводника при заданной температуре.

Аналогичные рассуждения справедливы для примесных полупроводников в области низких температур (участок 1, рис. 4), когда можно определить энергию ионизации акцепторной ΔE а =Е а -Е v или донорнойΔE d =E c -E d примеси из выражения вида:

ΔE а, d = - 2ktgγ

Экспериментальные точки зависимости lnσ(1/Т) на участке 3. Рекомендуется аппроксимировать с помощью ЭВМ, используя метод наименьших квадратов. Определяемый при этом угловой коэффициент линейной аппроксимации и представляет собой значениеtgβ, необходимое для расчёта ширины запрещённой зоны.

Методика проведения экспериментальных исследований

В данной работе для исследования температурной зависимости удельного сопротивления ρ(или удельной проводимостиσ) полупроводника (германия) и металла (меди) необходимо провести измерения напряженияUна образце, токаIчерез образец и температуры Т материала в соответствии с известным выражением:

ρ = 1/σ = (U/I) (S/l),

где S- поперечное сечение образца,l- длина образца (в работе это расстояние между зонами).

Вычисления ρ(илиσ) по (9) проводятся при каждой заданной величине температуры образца.

Принципиальная схема установки для измерения температурной зависимости электропроводности приведена на рис. 6.

Рис. 6. Схема установки для измерения температурной зависимости электропроводности полупроводников.

S1 – переключатель тока через образец; S2 – переключатель на измерение тока (положение а) и на измерение напряжения на образце (положение б); S3 – переключатель полярности ППТВ-1; S4 – выключатель; R1 – магазин сопротивлений (Р-33); R2 – эталонное сопротивление (100 Ом); PV1 – ППТВ-1; PV2 – милливольтметр; GB1 – источник питания.

Установка состоит из источника питания постоянного тока GB1, выключателя источникаS4, магазина сопротивленияR1, эталонного резистораR2, миллиамперметраPI1, измерителя напряженийPV1, переключателейS1,S2,S3, термопары и милливольтметраPV2, камеры с печью и держателем образца, трансформатора Т1. На вертикальной панели установлены: миллиамперметрPV1, переключателиS1,S2,S3,S4, резисторR2 и клеммы для подсоединенияR1,PV1 и проводников образца. ИсточникGB1 подключается к схеме с задней стороны панели.

Для определения напряжения на образце применяется двухзондовый компенсационный метод измерения. Сущность двухзондового метода заключается в том, что падение напряжения Uизмеряется с помощью металлических зондов между двумя внутренними точками А и В образца полупроводника, по которому протекает токI, подводимый через внешние контакты 1 и 2. Таким способом достигается электрическая развязка между источником питания и измерительной цепью.

Применение компенсационного метода обусловлено возможностью ошибок при измерении падения напряжения между контактам А и В из-за переходного сопротивления этих контактов (наиболее существенные погрешности вносят контакты металл – полупроводник).

Эти ошибки устраняются при использовании в качестве измерителя напряжения потенциометра ППТВ-1 (PV1на рис. 6; ППТВ – потенциометр постоянного тока высокоомный). Действительно, разность потенциалов между зонами А и В компенсируется включённым навстречу напряжением потенциометраU n , и, если цепь сбалансирована (U=U n), то ток, текущий через гальванометр измерителя ППТВ-1, равен нулю. Так как ток отсутствует, то нет и падения, напряжения на контакте зонд – полупроводник. В этом случае переходные сопротивления контактов не влияют на точность измерения удельного сопротивления.

Ещё одним источником погрешностей измерений температурной зависимости удельного сопротивления является термо – ЭДС, появляющаяся на измерительных зондах из-за некоторого градиента температуры образца, который возникает вследствие неравномерного прогрева материала. Влияние термо – ЭДС исключается следующим образом. Измерение напряжения на образце (между зондами) необходимо производить при двух различных направлениях тока через образец, для чего в лабораторной установке предусмотрен переключатель S1, меняющий местами контакты 1 и 2 образца; при этом направление тока во внешней по отношению к образцу цепи (в частности, через эталонный резисторR2) не изменяется.

Поскольку измеритель ППТВ-1 является полярным, то при изменении направления тока через образец требуется менять местами его входы, что осуществляется переключателем S3, то есть в режиме измерения напряжения на образцеS1 иS3 переключаются совместно. Так как реально величина термо – ЭДСΔUменьше по абсолютной величине, чем падение напряжения между зондамиU, и знакΔUопределяется градиентом температуры и не зависит от направления тока, то измеренные падения напряженияU 1 иU 2 при различных направлениях тока будут соответственно равны:

Величина тока через образец ориентировочно задаётся по показаниям миллиамперметра PI1 с помощью регулятора напряжения источника питанияGB1. Рекомендуется для удобства расчётов при всех температургых режимах величину тока поддерживать постоянной и равной 5 мА. Для более точного задания тока необходимо измеритель ППТВ-1 переключить на эталонный резисторR2 = 100 Ом (S2 устанавливается в положение а), после чего выставить на ППТВ-1 значениеUэт=0,5 В (5 мА*100 Ом=0,5 В) и с помощью гальванометра ППТВ. Эта процедура, то есть контроль тока, производится перед каждым измерением напряжения.

В данной работе можно проводить исследования в диапозоне температур от комнатной до 250 град.С. Нагрев образцов осуществляется в специальной камере с электрической печью. Температура внутри камеры определяется с помощью термопары, милливольтметра PV2 и градуировочной таблицы, обеспечивающих точностью в 1 градус. Показания милливольтметраPV2 (U Т) образом. Значения термо – ЭДС в градуировочной таблице (в милливольтах) находятся на пересечении столбцов, соответствующих десяткам градусов. Эти десятки и единицы градусов суммируются и складываются с показаниями комнатного термометраt k . Полученные значения заносятся в таблицу измерений и затем пересчитываются в абсолютную шкалу температур.

Порядок выполнения лабораторной работы.

Ознакомиться с лабораторной установкой для измерения температурной зависимости удельной электропроводности, произвести необходимые подключения элементов.

Ознакомиться с инструкцией по эксплуатации потенциометра ППТВ-1, подготовить его к работе.

Произвести замеры необходимых параметров полупроводникового образца при комнатной температуре t k (ЭДС термопарыUт = 0):

1. Включить источник питания GB1 (выключателемS4).

   Установить переключатель направления тока S1 в положение а.

   Регулятором напряжения источника питания GB1 установить по показаниям миллиамперметраPI1 ориентировочное значение величины тока 5 мА.

   Задать более точно величину тока через образец I=5мА, для чего:

установить S2 в режим измерения напряжения на эталонном резисторе (положение а), аS3 - в положение;

выставить в окошках верхней панели ручками потенциометра значение U R 2 =0,5 В;

с помощью магазина сопротивлений R1 при нажатии сначала кнопки “50000 Ом”, а затем кнопки “0” потенциометра добиться равновесного положения стрелки гальванометра. При этом точность задания напряженияU R 2 достигает 0,03 %.

Переключив S2 в положение б, аS 3 - в положение а, измерить падение напряжения на образцеU 1 .

Изменить направление тока через образец, установив S1 в положение б, и проконтролировать величину тока, повторив п. 3.4.

Переключив S 2 иS 3 в положение б и измерить падение напряжения на образцеU 2.

Результаты измерений t,U 1 ,U 2 и расчётовT, 1/T,U ср,σ,lnσследует занести в таблицу 1.(Размерности физических величин при расчётах должны соответствовать системе единиц СИ.)

Таблица 1.

Оформление результатов измерений и расчётов по лабораторной работе.

		S= mm 2 , l= mm для полупроводника						S = mm 2 , l = mm для металла

Повторить измерения (п. п. 3.2…3.7), изменяя температуру исследуемого материала. Для нагрева образца необходимо включить печь камеры, подсоединив трансформатор Т1 (ЛАТР) к сети~ 220 В и повернув ручку регулятора выходного напряжения ЛАТРа по часовой стрелке до ограничителя. ЭДС термопары U Т фиксировать в пределах от 0,5 мВ до 4, 0 мВ через каждые 0,5 мВ. При каждом фиксированном значенииU Т на время измерений необходимо включать нагреватель печи, повернув ручку регулятора ЛАТРа против часовой стрелки до упора. После проведения соответствующих замеров ручка возвращается в исходное для нагрева положение.

Построить график зависимости lnσ(1/Т) и определить ширину запрещённой зоны полупроводника при комнатной температуре по методике, изложенной в разделе 2.Конечный результат вычисления ΔE g представить в джоулях и электронвольтах.

На очередном занятии повторить необходимые измерения и расчёты для медного образца, при этом п. п. 3.6 и 3. 7 не выполняются. Результаты измерений t,U 1 =Uи расчётов Т,ρзанести в таблицу 1.

На основании проведенного анализа построить график температурной зависимости электропроводности и удельного сопротивления исследованного полупроводника.

Сформулировать выводы относительно полученных результатов анализа данных экспериментальных исследований.

Контрольные вопросы и задания

Объяснить механизм образования зонных энергетических диаграмм в кристаллических телах (металлы, полупроводники).

Почему при полностью заполненных энергетических зонах электропроводность собственных полупроводников равна нулю?

Оценить ширину примесных уровней (донорных, акцепторных) в легированных полупроводниках.

Объяснить механизм электропроводности в собственных и примесных полупроводниках.

Каким образом можно на основании экспериментальных данных определить активационные энергетические параметры в полупроводниках.

Какие частицы являются равновесными носителями зарядов в собственных и примесных полупроводниках?

Объяснить температурную зависимость концентрации носителей заряда в полупроводниках и металлах.

Объяснить температурную зависимость подвижности носителей заряда в полупроводниках и металлах.

Чем объясняется различный ход температурной зависимости электропроводности у металлов и полупроводников?

Список литературы

Пасынков В.В., Чиркин Л.К. Полупроводниковые приборы. –М., Изд. «Лань».2002 г. 385 с.

Епифанов Г.И. Физические основы микроэлектроники. – М., «Высш. школа». 1997 г. 407 с.